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1 से 18 (निम्न या मानक ), या 19 से 36 (उच्च या पासे ) एक शर्त है कि संख्या चुनी गई सीमा में होगी। लाल या काला ( रूज या नोयर ) एक शर्त है कि नंबर चुना हुआ रंग होगा। सम या विषम ( जोड़ी या खराब ) एक शर्त है कि संख्या चुने हुए प्रकार की होगी। दर्जन दांव एक शर्त है कि नंबर चुने हुए दर्जन में होगा: पहला (1-12, प्रीमियर डौज़ाइन या पी 12), दूसरा (13-24, मोयेन डौज़ाइन या एम 12), या तीसरा (25-36, डर्नियर डौज़ाइन या डी 12)। कॉलम शर्त एक शर्त है कि संख्या 12 नंबरों के चुने हुए ऊर्ध्वाधर कॉलम में होगी, जैसे 1-4-7-10 नीचे 34 पर। चिप को इस क्रम में अंतिम संख्या के नीचे की जगह पर रखा गया है। साँप बेटू एक विशेष दांव जिसमें संख्या 1, 5, 9, 12, 14, 16, 19, 23, 27, 30, 32, और 34 शामिल हैं। इसका भुगतान दर्जनों दांव के समान है और इसका नाम ज़िगज़ैगिंग, स्नेकेलाइक से लिया गया है। इन नंबरों से पता लगाया पैटर्न। स्नेक बेट सभी कैसिनो में उपलब्ध नहीं है; जब इसकी अनुमति दी जाती है, तो चिप को 34 वर्ग के निचले कोने पर रखा जाता है जो 19-36 सट्टेबाजी बॉक्स की सीमा में होता है। कुछ लेआउट बेट को दो सिर वाले सांप के साथ चिह्नित करते हैं जो 1 से 34 तक हवा करता है, और बेट को शरीर के दोनों छोर पर सिर पर लगाया जा सकता है। यूनाइटेड किंगडम में, सबसे दूर के बाहरी दांव (निम्न/उच्च, लाल/काले, सम/विषम) के परिणामस्वरूप खिलाड़ी अपनी बाजी का केवल आधा हिस्सा खो देता है यदि कोई शून्य आता है। बेट ऑड्स टेबल, gold express भारतीय कैसीनो. अमेरिकी और यूरोपीय रूले के लिए $1 बेट (शीर्ष पंक्ति के दांव के विशेष मामले को छोड़कर) के अपेक्षित मूल्य की गणना इस प्रकार की जा सकती है. इ एक्स पी इ सी तो इ घ वी ए मैं तुम इ = 1 नहीं ( 36 — नहीं ) = 36 नहीं — 1 , =>(36-n)=>-1,> जहाँ n पहिए में जेबों की संख्या है। शुरुआती बेट को उल्लिखित पेआउट के अलावा वापस कर दिया जाता है। यह आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है कि यह भुगतान सूत्र लाभ के शून्य अपेक्षित मूल्य की ओर ले जाएगा यदि केवल 36 संख्याएँ हों। 37 या अधिक संख्या होने से कैसीनो को अपनी बढ़त मिलती है। एक उदाहरण के रूप में, यूरोपीय रूले मॉडल, यानी केवल एक शून्य के साथ रूले की जांच की जा सकती है। चूंकि इस रूले में हिटिंग के बराबर ऑड्स के साथ 37 सेल हैं, इसलिए यह फील्ड प्रायिकता का अंतिम मॉडल है ( Ω , 2 Ω , पी ) ,\mathbb )> , कहां है Ω = > , पी ( ए ) = | ए | 37 > सभी के लिए ए ∈ 2 Ω > . शर्त को बुलाओ रों एक ट्रिपल ( ए , आर , ξ ) , कहां है ए चुनी हुई संख्याओं का समुच्चय है, आर ∈ आर + _> शर्त का आकार है, और ξ : Ω → आर > दांव की वापसी को निर्धारित करता है। यूरोपीय रूले के नियमों में 10 प्रकार के दांव हैं। पहले ‘स्ट्रेट अप’ बेट की कल्पना की जा सकती है। इस मामले में, रों = ( , आर , ξ ) \>,r,\xi )> , कुछ के लिए ω 0 ∈ Ω \in \Omega > , तथा ξ इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है ξ ( ω ) = >।> बेट का अपेक्षित शुद्ध लाभ, या लाभप्रदता, के बराबर है म [ ξ ] = 1 37 Σ ω ∈ Ω ξ ( ω ) = 1 37 ( ξ ( ω ‘ ) + Σ ω ≠ ω ‘ ξ ( ω ) ) = 1 37 ( 35 ⋅ आर — 36 ⋅ आर ) = — आर 37 ≈ — 0.027 आर . >\sum _ \xi (\omega )=>\left( \xi (\omega ^ )+\sum _ >\xi (\omega )\right)=>\बाएं (35\cdot r-36\cdot r\right)=->\लगभग -0.027r.> विवरण के बिना, एक शर्त के लिए, काला (या लाल), नियम इस प्रकार निर्धारित किया जाता है ξ ( ω ) = \\-r,&\omega =0\\r,&\omega >\अंत>,> और लाभप्रदता म [ ξ ] = 1 37 ( १८ ⋅ आर — १८ ⋅ आर — आर ) = — आर 37 >(18\cdot r-18\cdot rr)=->> . समान कारणों से यह देखना आसान है कि शेष सभी प्रकार के दांवों के लिए भी लाभ समान है। — आर 37 > . [10] वास्तव में इसका मतलब यह है कि, एक खिलाड़ी जितना अधिक दांव लगाता है, उतना ही वे उन रणनीतियों (शर्तों के प्रकार या दांव के आकार के संयोजन) से स्वतंत्र रूप से हारने वाले हैं जो वे नियोजित करते हैं: Σ नहीं = 1 ∞ म [ ξ नहीं ] = — 1 37 Σ नहीं = 1 ∞ आर नहीं → — ∞ . ^ M[\xi _]=->\sum _^ r_\to -\infty ।> यहां, रूले मालिक के लिए लाभ मार्जिन लगभग 2.7% के बराबर है। फिर भी, हारने की बाधाओं के बावजूद कई रूले रणनीति सिस्टम विकसित किए गए हैं। ये सिस्टम खिलाड़ी के पक्ष में खेल की बाधाओं को नहीं बदल सकते हैं। यह ध्यान देने योग्य है कि अमेरिकी रूले में खिलाड़ी के लिए ऑड्स और भी खराब हैं, क्योंकि बेट की लाभप्रदता सबसे खराब है — 3 38 आर ≈ — 0.0789 आर >r\लगभग -0.0789r> , और इससे बेहतर कभी नहीं — आर 19 ≈ — 0.0526 आर \लगभग -0.0526r> . सरलीकृत गणितीय मॉडल. रूले व्हील के लिए नहीं हरे रंग की संख्या और 36 अन्य अद्वितीय संख्याएं दी गई संख्या पर गेंद के उतरने की संभावना है 1 ( 36 + नहीं ) >> . सट्टेबाजी के विकल्प के लिए पी संख्याएं जो जीत को परिभाषित करती हैं, बेट जीतने की संभावना है पी ( 36 + नहीं ) >> उदाहरण के लिए, «लाल» पर दांव लगाना, 18 लाल संख्याएं हैं, पी = १८ , जीतने की संभावना है १८ ( 36 + नहीं ) >> . कैसीनो द्वारा जीत के लिए दिया गया भुगतान 36 परिणामों वाले रूलेट व्हील पर आधारित होता है और बेट के लिए भुगतान किसके द्वारा दिया जाता है 36 पी >> . उदाहरण के लिए, 1-12 पर बेटिंग करते हुए 12 नंबर हैं जो एक जीत को परिभाषित करते हैं, पी = 12 , भुगतान है 36 12 = 3 >=3> , तो बेहतर अपनी शर्त का 3 गुना जीतता है। एक खिलाड़ी की बेट पर औसत रिटर्न किसके द्वारा दिया जाता है पी ( 36 + नहीं ) × 36 पी = 36 ( 36 + नहीं ) >\times >=>> के लिये नहीं > 0 0> औसत रिटर्न हमेशा 1 से कम होता है इसलिए औसतन एक खिलाड़ी पैसे खो देगा। 1 हरे रंग की संख्या के साथ नहीं = 1 औसत रिटर्न है 36 37 >> , यानी, एक शर्त के बाद खिलाड़ी के पास औसतन होगा 36 37 >> उनकी मूल शर्त उन्हें वापस कर दी गई। 2 हरी संख्याओं के साथ नहीं = 2 औसत रिटर्न है 36 38 >> . इससे पता चलता है कि अपेक्षित रिटर्न बेट के चुनाव से स्वतंत्र है। कॉल किए गए (या कॉल) दांव या घोषित दांव.
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